∫(x^2)e^(iax^2)dx の解き方を教えてください。 部分積分を使うらしいのですが、

2016-12-29 00:58
 

∫(x^2)e^(iax^2)dx の解き方を教えてください。 部分積分を使うらしいのですが、分かりません。aは正の定数で、iは虚数です。

元は定積分で、ー∞~+∞ですが、ーR~+Rで積分してから、 R→∞にするということです。 詳しくは、経路積分からシュレディンガー方程式を導出する証明の一部で、定数部分が少し複雑です。 次のサイトの4頁目最後の(9.9)式の上2つの式の積分です。http://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/kaisekirikigaku/sec9(2010)...よろしくお願いします。

補足サイトが開かないようなので、URL張り直します。http://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/kaisekirikigaku/sec9(2010)...

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718920223 rausasd
No.1
2016-12-29

訂正:

積分 J の所で,
dz = R e^(iθ) dθ

dz = R e^(iθ) i dθ
の間違いです.
R → ∞ のとき,J → 0.
という結果に変わりはありません.

No.2
2016-12-30

すぐ部分積分したくなりますが,そうするとわかりにくい事態に陥ります.複素積分を使って,一歩一歩進んでみましょう.
z = r e^(iθ)
として,まず
∫z^2 e^(iz^2) dz
を求めます.積分経路は原点 O(z = 0)から実数軸に沿って点 A (z = R)まで行き,そこから半径 R の円周に沿ってθが増える向きに点 B(z = R e^(iπ/4)) に至り,そこからまっすぐ原点に戻る閉曲線にとります.この閉曲線で囲まれた領域で被積分関数は正則なので,上の積分の値は 0 です.よって,
0 =(O ~ A の積分 I)+(A ~ B の積分 J)+(B ~ O の積分 K).

個々の積分を順に見て行きます.まず,
I = ∫x^2 e^(ix^2) dx
ですが,積分範囲は x = 0~R です.最終的に R → ∞ とすると,求めたい積分の半分の値になります(ただし a = 1).

J においては,
z = R e^(iθ),
dz = R e^(iθ) dθ
なので,θ = 0~π/4 の積分範囲に対して,
J = ∫R^2 e^(2iθ)・e^{i R^2 e^(2iθ)}・R e^(iθ) dθ
= R^3∫e^(3iθ) e^[i R^2 {cos(2θ) + i sin(2θ)}] dθ
= R^3∫e^(3iθ) e^{-R^2 sin(2θ) + i R^2 cos(2θ)} dθ
= R^3∫e^(3iθ) e^{-R^2 sin(2θ)} e^{iR^2 cos(2θ)}] dθ.
ここで R → ∞ とすると,被積分関数の2番目の因子は 0 に収束します.その減少は指数関数的なので,積分の前の R^3 の増大よりも急激です.よって,
R → ∞ のとき,J → 0.

K においては,
z = r e^(iπ/4) = r √i,(i = e^(iπ/2) なので)
dz = √i dr
より,r = R~0 の積分範囲に対して,
K = ∫r^2・i・e^(ir^2・i) √i dr
= i√i∫r^2 e^(-r^2) dr.
ここで部分積分を使うと,
∫r^2 e^(-r^2) dr
= ∫r・r e^(-r^2) dr
= (-1/2){r e^(-r^2) - ∫1・e^(-r^2) dr}.
上記積分範囲で R → ∞ のとき(r = ∞~0),この積分は
→ (-1/2)[0 - {-(√π)/2}] = -(√π)/4.
よって,同じく
K → -(i/4)√(iπ).

以上より,x = 0~∞ の積分範囲に対して(R → ∞ のとき),
I = -K → (i/4)√(iπ).
積分範囲を x = -∞~∞ とすると,値は2倍になるので,
∫<-∞~+∞> x^2 e^(ix^2) dx = (i/2)√(iπ). __(1)

ご質問の積分では被積分関数が x^2 e^(iax^2) ですが(a > 0),
t = (√a)x
と変換すると,
dt = (√a)dx
より,
∫x^2 e^(iax^2) dx
= ∫(t^2 /a) e^(it^2) dt/√a
= ∫t^2 e^(it^2) dt / (a√a).
よって,x = -∞~∞ の積分範囲に対しては(1)より
∫x^2 e^(iax^2) dx = (i/2){√(iπ)}/(a√a).__(2)

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参考サイトでは,(9.9)のすぐ前の式より,z = -∞~∞ の積分範囲に対して,
∫z^2 e^{imz^2 /(2h')} dz
= (ih'/m)(1/√ε)(1/A)
そのふたつ前の 1/A を使うと
= (ih'/m)(1/√ε)√(2πih'ε/m)
= (i√i){√(2π)}{(h'/m)^(3/2)}
m/(2h') を a とすると,
= (i√i){√(2π)}{1/(2a)^(3/2)}
= (i√i)(√π)}(1/2){1/a^(3/2)}
となって,(2)と一致します.
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検算をお願いします.

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